プロ家庭教師が作成・監修 エスペランサアカデミー
中3の数学で、2学期中間テスト（2学期制の学校では前期期末テスト（9月上旬〜中旬ごろ））の範囲がどこになるか、そして何から手をつけるかを、プロ家庭教師が整理しました。
結論：範囲表を待たずに「二次方程式／関数 y=ax²」から始めてください
2学期中間テストの範囲表が配られるのは、たいてい1〜2週間前です。それから始めると数学は量が終わりません。中3の2学期中間テストで出やすいのは二次方程式／関数 y=ax²です。まずここから解き始め、範囲が出たあとに外れた単元を捨ててください。
中3数学｜2学期中間テストの範囲の目安
| テストの回 | 出やすい単元 |
|---|
| 前回（1学期期末・前期中間） | 平方根／二次方程式 |
| 今回（2学期中間テスト・前期期末テスト） | 二次方程式／関数 y=ax² |
| 次回（2学期期末・後期中間） | 相似／円周角 |
※学校・教科書会社・地域によって進度は変わります。表は目安です。必ず学校で配られたテスト範囲表でご確認ください。
中3数学｜2学期中間テストの予想問題30問（解答つき）
出やすい「二次方程式」「関数 y＝ax²」から、プロ家庭教師が30問を作りました。まず何も見ずに解いて、手が止まった型だけを教科書でやり直してください。
予想問題（全30問）
(1) x²－5x＋6＝0 を解きなさい。(2) x²－9＝0 を解きなさい。(3) x²＋6x＋9＝0 を解きなさい。(4) 2x²－7x＋3＝0 を解きなさい。(5) x²－4x－1＝0 を解きなさい。(6) (x＋2)²＝25 を解きなさい。(7) y＝2x² で、x＝3 のときの y を求めなさい。(8) y＝ax² のグラフが点 (2, 12) を通るとき、a を求めなさい。(9) y＝3x² で、x が1から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。(10) 連続する2つの正の整数の積が56 です。小さいほうの整数を求めなさい。(11) x²＋7x＋12＝0 を解きなさい。(12) x²－3x－10＝0 を解きなさい。(13) x²－16＝0 を解きなさい。(14) x²＋4x＝0 を解きなさい。(15) x²－10x＋25＝0 を解きなさい。(16) 3x²－12＝0 を解きなさい。(17) x²＋2x－4＝0 を解きなさい。(18) 2x²＋5x＋2＝0 を解きなさい。(19) (x－3)²＝16 を解きなさい。(20) (x＋1)(x－4)＝6 を解きなさい。(21) y＝3x² で、x＝－2 のときの y を求めなさい。(22) y＝ax² のグラフが点 (3, 18) を通るとき、a を求めなさい。(23) y＝－x² で、x＝4 のときの y を求めなさい。(24) y＝2x² で、x が1から4まで増加するときの変化の割合を求めなさい。(25) y＝x² で、x の変域が －2≦x≦3 のときの y の変域を求めなさい。(26) y＝ax² のグラフが上に開くのは、a がどんなときですか。(27) 関数 y＝ax² のグラフは、どんな曲線になりますか。名前を書きなさい。(28) 連続する2つの正の整数があり、それぞれを2乗した数の和が61 です。小さいほうの整数を求めなさい。(29) 縦が横より3cm 長い長方形の面積が40cm² です。横の長さを求めなさい。(30) ある正の数を2乗した数は、その数の3倍より10大きくなります。この数を求めなさい。
解答と解説
(1) x＝2, 3解説 因数分解して (x－2)(x－3)＝0 → x＝2, 3。(2) x＝±3解説 x²＝9 → x＝±3（プラスとマイナスの2つ）。(3) x＝－3（重解）解説 (x＋3)²＝0 → x＝－3。解が1つだけになります。(4) x＝3, 1/2（解の公式）解説 (2x－1)(x－3)＝0 と因数分解でき、x＝3, 1／2。解の公式でも同じ答えです。(5) x＝2±√5解説 解の公式：x＝{4±√(16＋4)}÷2＝(4±2√5)÷2＝2±√5。(6) x＝3, －7解説 x＋2＝±5 → x＝3 または x＝－7。(7) y＝18解説 y＝2×3²＝2×9＝18。(8) a＝3解説 12＝a×2² → 4a＝12 → a＝3。(9) 12解説 変化の割合＝yの増加量÷xの増加量＝(27－3)÷(3－1)＝12。(10) 7（x(x＋1)＝56 より x＝7）解説 x(x＋1)＝56 → (x＋8)(x－7)＝0。正の整数なので x＝7。(11) x＝－3、x＝－4解説 (x＋3)(x＋4)＝0 → x＝－3, －4。(12) x＝5、x＝－2解説 (x－5)(x＋2)＝0 → x＝5, －2。(13) x＝4、x＝－4解説 x²＝16 → x＝±4。(14) x＝0、x＝－4解説 x(x＋4)＝0 → x＝0, －4。x でわると x＝0 の解を落とすので注意。(15) x＝5解説 (x－5)²＝0 → x＝5。(16) x＝2、x＝－2解説 両辺を3でわって x²＝4 → x＝±2。(17) x＝－1±√5解説 解の公式：x＝{－2±√(4＋16)}÷2＝(－2±2√5)÷2＝－1±√5。(18) x＝－1／2、x＝－2解説 (2x＋1)(x＋2)＝0 → x＝－1／2, －2。(19) x＝7、x＝－1解説 x－3＝±4 → x＝7, －1。(20) x＝5、x＝－2解説 展開して x²－3x－4＝6 → x²－3x－10＝0 → (x－5)(x＋2)＝0。(21) y＝12解説 y＝3×(－2)²＝3×4＝12。(－2)² は正の4です。(22) a＝2解説 18＝a×3² → 9a＝18 → a＝2。(23) y＝－16解説 y＝－(4²)＝－16。(24) 10解説 (2×4²－2×1²)÷(4－1)＝30÷3＝10。(25) 0≦y≦9解説 x＝0 のとき最小の0、x＝3 のとき最大の9。x＝－2 のときの4ではありません。(26) a＞0 のとき（a が正のとき）解説 a＞0 なら上に開き（谷の形）、a＜0 なら下に開きます（山の形）。(27) 放物線解説 y＝ax² のグラフは、原点を頂点とする放物線です。(28) 5解説 x²＋(x＋1)²＝61 → x²＋x－30＝0 → (x＋6)(x－5)＝0。正の整数なので5。(29) 5cm解説 横を x cm とすると x(x＋3)＝40 → (x＋8)(x－5)＝0。長さは正なので5cm。(30) 5解説 x²＝3x＋10 → (x－5)(x＋2)＝0。正の数なので5。
※学校・教科書会社によって出題範囲は変わります。学校で配られたテスト範囲表と合わせてお使いください。作成・監修：エスペランサアカデミー（プロ家庭教師）
解き方が分からない問題は、エスペランサアカデミーにそのまま質問できます（無料・1分）。
中3数学｜実力アップ問題20問（くわしい解説つき）
上の30問が解けたら、次は解の公式・文章題・変域・変化の割合など、差がつく形の20問です。(31)〜(50)は、まず何も見ずに解いてください。まちがえた問題は、解説の「なぜそうなるか」まで読んでから、もう一度解き直すと定着します。
実力アップ問題（全20問）
(31) 二次方程式 x²－7x＋12＝0 を解きなさい。(32) 二次方程式 x²＋2x－15＝0 を解きなさい。(33) 二次方程式 2x²－8＝0 を解きなさい。(34) 二次方程式 (x－3)²＝5 を解きなさい。(35) 二次方程式 x²＋4x－1＝0 を解の公式を使って解きなさい。(36) 二次方程式 3x²－5x＋1＝0 を解きなさい。(37) 二次方程式 x(x＋4)＝21 を解きなさい。(38) 二次方程式 x²＋ax－12＝0 の解の1つが2のとき、a の値ともう1つの解を求めなさい。(39) ある自然数を2乗した数は、もとの数の5倍より14大きい。もとの自然数を求めなさい。(40) 連続する2つの正の整数の積が72のとき、2つの整数を求めなさい。(41) 縦が横より3cm長い長方形の面積が40cm²のとき、縦と横の長さを求めなさい。(42) 周りの長さが20cm、面積が21cm²の長方形の、2辺の長さを求めなさい。(43) 関数 y＝2x² で、x＝－3 のときの y の値を求めなさい。(44) y は x の2乗に比例し、x＝2 のとき y＝12 である。y を x の式で表しなさい。(45) 関数 y＝x² で、x の変域が －2≦x≦3 のとき、y の変域を求めなさい。(46) 関数 y＝－x² で、x の変域が －1≦x≦2 のとき、y の変域を求めなさい。(47) 関数 y＝2x² で、x が1から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。(48) 関数 y＝ax² で、x が1から3まで増加するときの変化の割合が12である。a の値を求めなさい。(49) ボールが落ち始めてから x秒間に落ちる距離を y m とすると、y＝5x² と表せる。2秒後から4秒後までの平均の速さを求めなさい。(50) 関数 y＝x² のグラフと直線 y＝x＋2 の交点の座標を求めなさい。
解答とくわしい解説
(31) x＝3、4解説 かけて12、たして－7 になる2数は －3 と －4。(x－3)(x－4)＝0。(32) x＝－5、3解説 かけて－15、たして2 になる2数は 5 と －3。(x＋5)(x－3)＝0。(33) x＝±2解説 両辺を2でわって x²＝4。平方根は正と負の2つあるので ±2。(34) x＝3±√5解説 x－3＝±√5 として、3を移項します。(35) x＝－2±√5解説 x＝{－4±√(16＋4)}÷2＝(－4±√20)÷2＝(－4±2√5)÷2＝－2±√5。√20＝2√5 と約分を忘れずに。(36) x＝(5±√13)/6解説 a＝3、b＝－5、c＝1 を解の公式へ。x＝{5±√(25－12)}÷6。(37) x＝－7、3解説 展開して x²＋4x－21＝0。(x＋7)(x－3)＝0。右辺を0にしてから因数分解します。(38) a＝4、もう1つの解は －6解説 x＝2 を代入して 4＋2a－12＝0、a＝4。x²＋4x－12＝(x＋6)(x－2)＝0 より、もう1つは －6。(39) 7解説 x²＝5x＋14 より (x－7)(x＋2)＝0。x は自然数なので x＝－2 は答えにしません。(40) 8と9解説 小さい方を x とすると x(x＋1)＝72、(x＋9)(x－8)＝0。正の整数なので x＝8。(41) 縦8cm、横5cm解説 横を x cm とすると x(x＋3)＝40、(x＋8)(x－5)＝0。長さは正なので x＝5。(42) 3cmと7cm解説 縦＋横＝10 なので、縦を x とすると横は 10－x。x(10－x)＝21 より x²－10x＋21＝0、(x－3)(x－7)＝0。(43) y＝18解説 (－3)²＝9。2×9＝18。負の数の2乗は正になります。(44) y＝3x²解説 y＝ax² に代入して 12＝4a、a＝3。(45) 0≦y≦9解説 変域に x＝0 がふくまれるので、最小値は0。最大値は絶対値が大きい x＝3 のときの9。－2 のときの4ではありません。(46) －4≦y≦0解説 a が負なので x＝0 のとき最大の0。x＝2 のとき最小の －4。(47) 8解説 y は 2 から 18 に増えるので、(18－2)÷(3－1)＝8。一次関数とちがい、区間によって変化の割合は変わります。(48) a＝3解説 (9a－a)÷(3－1)＝4a。4a＝12 より a＝3。(49) 秒速30m解説 2秒で20m、4秒で80m落ちます。(80－20)÷(4－2)＝30。平均の速さ＝変化の割合です。(50) (－1, 1)、(2, 4)解説 x²＝x＋2 より x²－x－2＝0、(x－2)(x＋1)＝0。x＝2 のとき y＝4、x＝－1 のとき y＝1。
※ 学校・教科書会社によって範囲や順番はちがいます。学校のテスト範囲表と照らし合わせて使ってください。
中3数学｜発展問題20問（くわしい解説つき）
(50)まで解けたら、最後は二次方程式の「応用」と、関数 y＝ax² の「グラフと図形」です。二次方程式の文章題は、出てきた解が問題に合っているかを必ず確かめてください。
発展問題（全20問）
(51) 二次方程式 x²＝2x を解きなさい。(52) 二次方程式 (x－1)(x＋3)＝5 を解きなさい。(53) 二次方程式 x²－6x＋4＝0 を解きなさい。(54) 二次方程式 2x²＋3x－1＝0 を解きなさい。(55) 二次方程式 x²＋ax＋b＝0 の解が2と－5のとき、a と b の値を求めなさい。(56) 縦10m、横15mの長方形の土地に、同じ幅の道を縦と横に1本ずつつくる。残りの土地の面積が104m²になるとき、道の幅は何mですか。(57) 正方形の紙の四すみから1辺3cmの正方形を切り取り、ふたのない箱をつくったら容積が48cm³になった。もとの紙の1辺は何cmですか。(58) ある数を2乗して3をたすと、その数の4倍に等しくなる。ある数を求めなさい。(59) y は x の2乗に比例し、x＝－2 のとき y＝－8 である。y を x の式で表しなさい。(60) 関数 y＝2x² で、x の変域が －3≦x≦1 のとき、y の変域を求めなさい。(61) 関数 y＝ax² で、x の変域が －2≦x≦4 のとき、y の変域が 0≦y≦8 である。a の値を求めなさい。(62) 関数 y＝x² で、x が－3から－1まで増加するときの変化の割合を求めなさい。(63) 関数 y＝x² のグラフ上に2点 A(－1, 1)、B(3, 9) がある。直線 AB の式を求めなさい。(64) (63) で、原点を O とするとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。(65) 関数 y＝ax² で、x が1から3まで増加するときの変化の割合が、一次関数 y＝4x＋1 の変化の割合と等しい。a の値を求めなさい。(66) ボールを落とすと、落ち始めてから x秒間に落ちる距離 y m は y＝5x² で表される。45m落ちるのは何秒後ですか。(67) (66) で、2秒後から3秒後までの平均の速さは秒速何mですか。(68) 関数 y＝－2x² のグラフと x軸について対称なグラフの式を書きなさい。(69) 【記述】関数 y＝x² で x の変域が －2≦x≦3 のとき、y の最小値が4ではなく0になる理由を説明しなさい。(70) 【記述】二次方程式 x²＝9 の答えを「x＝3」とだけ書くと誤りになる理由を説明しなさい。
解答とくわしい解説
(51) x＝0、2解説 両辺を x でわると x＝0 の解が消えてしまいます。x²－2x＝0、x(x－2)＝0 と因数分解します。(52) x＝－4、2解説 展開して x²＋2x－3＝5、x²＋2x－8＝0、(x＋4)(x－2)＝0。右辺を0にしてから解きます。(53) x＝3±√5解説 解の公式より x＝{6±√(36－16)}÷2＝(6±2√5)÷2＝3±√5。(54) x＝(－3±√17)/4解説 a＝2、b＝3、c＝－1 を解の公式に代入します。√(9＋8)＝√17。(55) a＝3、b＝－10解説 (x－2)(x＋5)＝0 を展開すると x²＋3x－10＝0。(56) 2m解説 道を端に寄せて考えると (10－x)(15－x)＝104、x²－25x＋46＝0、(x－2)(x－23)＝0。x＜10 なので x＝2。(57) 10cm解説 もとの1辺を x cm とすると 3(x－6)²＝48、(x－6)²＝16、x－6＝±4。x－6＞0 なので x＝10。(58) 1、3解説 x²＋3＝4x より x²－4x＋3＝0、(x－1)(x－3)＝0。(59) y＝－2x²解説 y＝ax² に代入して －8＝4a、a＝－2。(60) 0≦y≦18解説 x＝0 をふくむので最小は0。最大は x＝－3 のときの 2×9＝18。(61) a＝1/2解説 y が0以上なので a＞0。最大の8は絶対値の大きい x＝4 のとき。16a＝8。(62) －4解説 y は9から1に変わるので (1－9)÷(－1＋3)＝－4。(63) y＝2x＋3解説 傾きは (9－1)÷(3＋1)＝2。(－1, 1) を代入して切片3。(64) 6解説 直線 AB と y軸の交点 (0, 3) で三角形を左右に分けます。3×1÷2＋3×3÷2＝6。(65) a＝1解説 y＝ax² の変化の割合は (9a－a)÷2＝4a。4a＝4 より a＝1。(66) 3秒後解説 5x²＝45、x²＝9。x＞0 なので x＝3。(67) 秒速25m解説 2秒後は20m、3秒後は45m。(45－20)÷(3－2)＝25。(68) y＝2x²解説 x軸について対称なので、y の符号だけが反対になります。(69) （例）x の変域に0がふくまれていて、x＝0 のとき y＝0 となり、これが最小だから。解説 端の値だけを代入すると 4 と 9 になり、0 を見落とします。グラフをかいて確かめるのが確実です。(70) （例）2乗して9になる数は3と－3の2つあるので、解は x＝±3 になるから。解説 文章題では問題の条件（正の数など）によって一方を捨てることがありますが、方程式の答えとしては両方書きます。
※ 学校・教科書会社によって範囲や順番はちがいます。学校のテスト範囲表と照らし合わせて使ってください。
中3数学で点を落としやすい3つのところ
1二次方程式｜解き方の使い分けができない
因数分解・平方根の利用・解の公式の3つです。まず因数分解できるか試し、無理なら解の公式という順番を固定してください。毎回解の公式を使うと時間が足りません。
2解の公式で符号を間違える
分子の −b を書き忘れる失点が最も多いです。公式を答案の端に書いてから代入してください。
3y=ax² ｜変化の割合を一次関数と混同する
y=ax² の変化の割合は一定ではありません。a(p+q) で求まることを覚えてください。一次関数と同じ感覚で解くと必ず外します。
解いていて手が止まったら、そのままにしないでください
わからない問題は、その場で聞くのがいちばん早いです。中3数学のどの問題でも構いません。エスペランサアカデミーのプロ家庭教師がお答えします。
この問題の解き方を質問する（無料）
2週間前からの進め方
| 時期 | やること |
|---|
| 14日前〜10日前 | 学校のワークを1周する。分からない問題に印をつけ、その場では止まらない |
| 9日前〜6日前 | 印をつけた問題だけを解き直す。ここで解けるようにする |
| 5日前〜3日前 | ワークを2周目。二次方程式／関数 y=ax²を重点的に |
| 2日前〜前日 | 間違えた問題だけを3周目。新しい問題には手をつけない |
| 当日の朝 | 公式・用語の最終確認だけ。解き直しはしない |
直前チェックリスト
この5つができていれば、平均点は超えます
1. 因数分解できるかを先に試している
2. 解の公式を正確に書ける
3. 判別式を使わずに実数解の有無を判断できる
4. y=ax²の変化の割合の求め方を知っている
5. グラフの開き方がaで決まると分かっている
前期期末テストの学校（2学期制）の場合
📘 二学期制の学校は、学年全体の範囲と2週間の進め方を 中3の前期期末テスト対策 にまとめています。
2学期制の学校では、この時期のテストは前期期末テストにあたります。年4回（前期中間・前期期末・後期中間・後期期末）のため、1回あたりの範囲が3学期制より広くなります。
範囲が広いぶん、直前だけでは終わりません。上の「2週間前からの進め方」を、3週間前からに前倒ししてください。
よくあるご質問
Q. 範囲表がまだ配られていません。何から始めればいいですか
A. 上の表の「二次方程式／関数 y=ax²」から始めてください。学校のワークで、その単元のページを1周するのが最短です。範囲が出てから外れた分を捨てれば無駄になりません。
Q. ワークを何周すればいいですか
A. 2周が目安です。1周目は印をつけながら進め、2周目は印のついた問題だけ。全問を2回解く必要はありません。
Q. わからない問題は誰に聞けばいいですか
A. 学校の先生に聞けるのがいちばんです。聞きにくい場合や、テスト直前で時間がない場合は、エスペランサアカデミーにご質問ください。プロ家庭教師がお答えします。
まとめ
中3の数学の2学期中間テストは、二次方程式／関数 y=ax²が中心になります。範囲表を待たずにここから始めてください。
進め方は、ワークを1周して印をつける→印だけ解き直す→2周目、の順です。新しい教材を増やさないことが、この時期のいちばんの近道です。
2学期中間テストまでに、何を優先すべきかお伝えします
学年・教科・いまの点数と、学校で配られた範囲表を教えてください。残りの日数で、どの単元から手をつけるべきかをプロ家庭教師がご提案します。初回体験授業（60分）無料です。
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中3数学｜ほかのテスト回の対策
同じ中3数学で、別の回の範囲と勉強法です。次のテストの準備を先に始めたいときに使ってください。
1学期中間1学期期末（前期中間）2学期期末（後期中間）学年末（後期期末）
中3のほかの教科｜2学期中間（前期期末）
同じ2学期中間（前期期末）テストの、ほかの教科の範囲です。5教科の計画をまとめて立てるときに使ってください。
中3英語中3国語中3理科中3社会
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中3の2学期は、入試に使う内申点が確定する最後のテストです。5教科の予想問題と解説は学年ごとのページに集めてあるので、学校の進度に合わせて必要な単元だけ選んで使えます。どこから手をつければよいか迷うときは、プロ講師による無料学習相談で現在の状況をお聞きしたうえで、優先順位をお伝えします。
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