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展開・因数分解 ／ 平方根 ／ 二次方程式 ／ 関数 y=ax² ／ 相似 ／ 三平方の定理 ／ 円周角 ／ 標本調査
中3 数学の定期テスト問題（8単元・108問）
📐 数学
展開・因数分解 (16問)
Q1基礎(x+2)(x+3) を展開しなさい。
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答え：x²+5x+6
x²、(2+3)x＝5x、2×3＝6 → x²+5x+6。
Q2基礎(x+4)(x-4) を展開しなさい。
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答え：x²-16
和と差の積：x²-4² → x²-16。
Q3基礎(x+5)² を展開しなさい。
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答え：x²+10x+25
(a+b)²＝a²+2ab+b² → x²+10x+25。
Q4標準(x+2)(x-5) を展開しなさい。
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答え：x²-3x-10
x²、(2-5)x＝-3x、-10 → x²-3x-10。
Q5標準x²+7x+12 を因数分解しなさい。
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答え：(x+3)(x+4)
かけて12・たして7＝3と4 → (x+3)(x+4)。
Q6標準x²-9 を因数分解しなさい。
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答え：(x+3)(x-3)
x²-3² → (x+3)(x-3)。
Q7標準x²-6x+9 を因数分解しなさい。
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答え：(x-3)²
a²-2ab+b² の形 → (x-3)²。
Q8応用x²-x-12 を因数分解しなさい。
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答え：(x-4)(x+3)
かけて-12・たして-1＝-4と+3 → (x-4)(x+3)。
Q9応用2x²-8 を因数分解しなさい。
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答え：2(x+2)(x-2)
共通因数2→2(x²-4)→2(x+2)(x-2)。
Q10基礎(x＋3)(x＋4) を展開しなさい。
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答え：x²＋7x＋12
(x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab。3＋4＝7、3×4＝12。
Q11基礎(x＋5)² を展開しなさい。
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答え：x²＋10x＋25
(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²。
Q12基礎(x＋6)(x−6) を展開しなさい。
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答え：x²−36
(a＋b)(a−b)＝a²−b²。
Q13基礎x²＋7x＋10 を因数分解しなさい。
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答え：(x＋2)(x＋5)
かけて10、たして7になる2数は2と5。
Q14標準x²−9 を因数分解しなさい。
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答え：(x＋3)(x−3)
平方の差 a²−b²＝(a＋b)(a−b)。
Q15標準x²−8x＋16 を因数分解しなさい。
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答え：(x−4)²
a²−2ab＋b²＝(a−b)²。
Q16標準x²−2x−15 を因数分解しなさい。
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答え：(x＋3)(x−5)
かけて−15、たして−2は＋3と−5。
平方根 (15問)
Q17基礎√16 を計算しなさい。
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答え：4
2乗して16 → 4。
Q18基礎(√7)² を計算しなさい。
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答え：7
√a の2乗は a → 7。
Q19標準√12 を簡単にしなさい。
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答え：2√3
√(4×3)＝2√3。
Q20標準√2×√8 を計算しなさい。
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答え：4
√16＝4。
Q21標準3√2+√2 を計算しなさい。
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答え：4√2
3+1＝4 → 4√2。
Q22応用√48-√27 を計算しなさい。
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答え：√3
4√3-3√3＝√3。
Q23応用(√5+1)(√5-1) を計算しなさい。
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答え：4
5-1＝4。
Q24応用(√3+√2)² を計算しなさい。
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答え：5+2√6
3+2√6+2 → 5+2√6。
Q25基礎√16 を求めなさい。
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答え：4
4²＝16。
Q26基礎√8 をできるだけ簡単にしなさい。
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答え：2√2
√8＝√(4×2)＝2√2。
Q27標準√3×√12 を計算しなさい。
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答え：6
√(3×12)＝√36＝6。
Q28標準√50−√18 を計算しなさい。
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答え：2√2
5√2−3√2＝2√2。
Q29標準√2×√6 を計算しなさい。
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答え：2√3
√12＝2√3。
Q30標準3/√2 の分母を有理化しなさい。
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答え：3√2/2
分母・分子に√2をかける。
Q31応用(√5＋1)(√5−1) を計算しなさい。
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答え：4
a²−b²＝5−1＝4。
二次方程式 (18問)
Q32基礎x²=9 を解きなさい。
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答え：x=±3
2乗して9になる数は +3 と −3 の両方。よって x=±3。
Q33基礎x²−4=0 を解きなさい。
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答え：x=±2
x²＝4 にする→ 2乗して4は ±2。よって x=±2。
Q34標準(x−2)(x+3)=0 を解きなさい。
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答え：x=2, −3
かけて0なので どちらかが0。x−2=0 か x+3=0。よって x=2, −3。
Q35標準x²+5x+6=0 を解きなさい。
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答え：x=−2, −3
かけて6・たして5は 2と3。(x+2)(x+3)=0 に因数分解。よって x=−2, −3。
Q36標準x²−7x+12=0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x=3, 4
かけて12・たして7は 3と4。(x−3)(x−4)=0。よって x=3, 4。
Q37応用解の公式を使って x²+3x+1=0 を解きなさい。
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答え：x=(−3±√5)/2
公式 x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) に a=1,b=3,c=1。b²−4ac＝9−4＝5。よって x=(−3±√5)/2。
Q38基礎x²＝25 を解きなさい。
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答え：x＝±5
平方根の考えで±5。
Q39基礎x²−5x＋6＝0 を解きなさい。
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答え：x＝2, 3
(x−2)(x−3)＝0。
Q40基礎x²＋4x＝0 を解きなさい。
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答え：x＝0, −4
共通因数xでx(x＋4)＝0。
Q41標準(x−3)²＝16 を解きなさい。
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答え：x＝7, −1
x−3＝±4。
Q42標準x²−2x−8＝0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝4, −2
(x−4)(x＋2)＝0。
Q43標準x²＋6x＋9＝0 を解きなさい。
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答え：x＝−3
(x＋3)²＝0で重解。
Q44応用解の公式を使って x²＋3x＋1＝0 を解きなさい。
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答え：x＝(−3±√5)/2
x＝(−b±√(b²−4ac))/2a。
Q45標準連続する2つの整数の積が20です。小さい方をxとして方程式をつくりなさい。
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答え：x(x＋1)＝20
連続する2整数はx と x＋1。積が20なので x(x＋1)＝20。
Q46標準連続する2つの整数の積が20です。その2つの整数（正の数）を求めなさい。
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答え：4と5
x²＋x−20＝0 →(x＋5)(x−4)＝0。x＝4（正）なので4と5。
Q47標準縦が横より2cm長い長方形の面積が15cm²です。横をxとして式をつくりなさい。
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答え：x(x＋2)＝15
縦＝x＋2。面積＝横×縦＝x(x＋2)＝15。
Q48応用縦が横より2cm長く面積15cm²の長方形の、横の長さを求めなさい。
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答え：3 cm
x²＋2x−15＝0 →(x＋5)(x−3)＝0。x＝3(cm)（長さは正）。
Q49応用ある数を2乗すると、その数の3倍より4大きくなります。ある数を求めなさい。
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答え：4 と −1
x²＝3x＋4 → x²−3x−4＝0。(x−4)(x＋1)＝0 → x＝4, −1。
関数 y=ax² (15問)
Q50基礎y=2x² で x=3 のときの y を求めなさい。
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答え：18
x に3を入れる→ 2×3²＝2×9＝18。
Q51基礎y=x² で x=−2 のときの y を求めなさい。
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答え：4
(−2)²＝(−2)×(−2)＝4。マイナス×マイナスはプラス。
Q52標準y=ax² のグラフが点 (2, 12) を通るとき、a を求めなさい。
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答え：3
12＝a×2²＝a×4。a＝12÷4＝3。
Q53応用y=3x² で、x が1から3まで増えるときの変化の割合を求めなさい。
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答え：12
x=1で y=3、x=3で y=27。変化の割合＝(27−3)÷(3−1)＝24÷2＝12。
Q54基礎y＝2x² で、x＝3 のときの y を求めなさい。
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答え：18
2×3²＝2×9＝18。
Q55基礎y＝ax² のグラフを何といいますか。
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答え：放物線
原点を通る放物線。
Q56標準y＝ax² で x＝2 のとき y＝12。a を求めなさい。
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答え：a＝3
12＝a×4 よりa＝3。
Q57基礎y＝−x² のグラフは上・下どちらに開きますか。
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答え：下
a＜0のとき下に開く。
Q58応用y＝3x² で、x が1から3まで増えるときの変化の割合を求めなさい。
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答え：12
(27−3)/(3−1)＝24/2＝12。
Q59標準y＝2x²（x は実数全体）で y の変域を答えなさい。
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答え：y≧0
最小値は0。
Q60基礎図のような y＝x² のグラフの頂点の座標を答えなさい。
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答え：(0, 0)
y＝ax² のグラフは原点を頂点とする放物線。頂点は(0, 0)。
Q61基礎y＝ax² で a＞0 のとき、グラフは上・下どちらに開きますか。
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答え：上
a＞0のとき上に開く（U字）。a＜0なら下に開く。
Q62基礎y＝2x² で、x＝−3 のときの y を求めなさい。
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答え：18
xに−3を代入。2×(−3)²＝2×9＝18。
Q63応用y＝x² で、x が −2 から 0 まで動くときの y の変域を求めなさい。
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答え：0 ≦ y ≦ 4
x＝−2のとき y＝4、x＝0のとき y＝0。放物線なので最小0・最大4 →0≦y≦4。
Q64標準放物線 y＝ax² が点 (2, 8) を通るとき、a の値を求めなさい。
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答え：2
点の座標を代入：8＝a×2²。8＝4a → a＝2。
相似 (16問)
Q65基礎相似な図形で、対応する辺の長さの比を何といいますか。
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答え：相似比
対応する辺の比が 相似比。
Q66標準相似比が 2:3 の2つの図形の面積比を求めなさい。
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答え：4:9
面積比は相似比の2乗。2²:3²＝4:9。
Q67標準相似比が 2:3 の2つの立体の体積比を求めなさい。
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答え：8:27
体積比は相似比の3乗。2³:3³＝8:27。
Q68応用三角形の2辺の中点を結んだ線分は、残りの1辺の何倍ですか。
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答え：1/2倍（半分）
中点連結定理。中点どうしを結ぶと第3辺の 半分（1/2倍） になる。
Q69基礎相似な図形で、対応する辺の長さの比を何といいますか。
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答え：相似比
対応する辺の比が相似比。
Q70標準相似比が 2:3 のとき、面積比はいくつですか。
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答え：4:9
面積比は相似比の2乗。
Q71基礎三角形の相似条件を1つ答えなさい。
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答え：2組の角がそれぞれ等しい
他に「3組の辺の比が等しい」「2組の辺の比と間の角が等しい」。
Q72標準△ABC∽△DEF で相似比 2:1、AB＝8 のとき DE の長さは？
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答え：4
8×1/2＝4。
Q73標準相似比が 1:3 のとき、体積比はいくつですか。
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答え：1:27
体積比は相似比の3乗。
Q74標準三角形で2辺の中点を結んだ線分は、残りの辺と平行で長さは半分。この定理を何といいますか。
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答え：中点連結定理
中点連結定理。
Q75標準相似比が 2:3 の2つの三角形で、小さい方のある辺が4cmのとき、大きい方の対応する辺の長さを求めなさい。
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答え：6 cm
対応する辺の比＝相似比＝2:3。2:3＝4:x → 2x＝12 → x＝6(cm)。
Q76応用相似な2つの三角形の面積が18cm²と50cm²です。相似比を求めなさい。
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答え：3:5
面積比＝18:50＝9:25。相似比は面積比の√をとって3:5。
Q77標準△ABCで、辺AB・ACの中点をM・Nとすると MN//BC となる。BC＝10cmのとき MN の長さは？
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答え：5 cm
中点連結定理で MN は BC の半分。10÷2＝5(cm)。
Q78標準長さ1mの棒の影が0.5m、同じ時刻に木の影が3mでした。木の高さを求めなさい。
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答え：6 m
同じ時刻の影は相似の関係。1:0.5＝x:3 → 0.5x＝3 → x＝6(m)。
Q79応用相似比が 2:5 のとき、体積比を求めなさい。
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答え：8:125
体積比＝相似比の3乗。2³:5³＝8:125。
Q80基礎2つの図形が「相似」であるとはどういうことですか。
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答え：形が同じで大きさが異なる（角が等しく辺の比が一定）
対応する角がすべて等しい。対応する辺の比がすべて等しい。
三平方の定理 (18問)
Q81基礎直角をはさむ2辺が3と4の直角三角形で、斜辺の長さを求めなさい。
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答え：5
斜辺²＝3²+4²＝9+16＝25。√25＝5。
Q82標準直角をはさむ2辺が5と12のとき、斜辺の長さを求めなさい。
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答え：13
斜辺²＝5²+12²＝25+144＝169。√169＝13。
Q83標準斜辺が13、1辺が5の直角三角形で、残りの辺の長さを求めなさい。
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答え：12
残り²＝13²−5²＝169−25＝144。√144＝12。
Q84標準直角二等辺三角形の3辺の比を答えなさい。
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答え：1:1:√2
直角をはさむ2辺が等しい直角三角形の辺の比は 1:1:√2。
Q85基礎直角をはさむ2辺が 3 と 4 の直角三角形の斜辺の長さは？
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答え：5
3²＋4²＝25、√25＝5。
Q86基礎三平方の定理を式で書きなさい（斜辺 c、他を a, b とする）。
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答え：a²＋b²＝c²
直角三角形で成り立つa²＋b²＝c²。
Q87標準直角二等辺三角形の3辺の比を答えなさい。
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答え：1:1:√2
1:1:√2。
Q88標準30°,60°,90° の直角三角形の3辺の比を答えなさい。
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答え：1:2:√3
1:2:√3。
Q89標準斜辺13、1辺5の直角三角形の残りの辺の長さは？
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答え：12
13²−5²＝144、√144＝12。
Q90応用1辺 a の正方形の対角線の長さは？
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答え：√2 a
a²＋a²＝2a²、√(2a²)＝√2 a。
Q91基礎直角をはさむ2辺が 6 と 8 の直角三角形の斜辺は？
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答え：10
36＋64＝100、√100＝10。
Q92基礎図の長方形（縦3cm・横4cm）の対角線の長さを求めなさい。
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答え：5 cm
対角線は直角三角形の斜辺。√(3²＋4²)＝√(9＋16)＝√25＝5(cm)。
Q93標準図の1辺6cmの正三角形の高さを求めなさい。
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答え：3√3 cm
高さは底辺を半分(3cm)に分ける直角三角形の1辺。√(6²−3²)＝√(36−9)＝√27＝3√3(cm)。
Q94標準座標平面上の2点 A(0, 0) と B(3, 4) の間の距離を求めなさい。
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答え：5
距離＝√((xの差)²＋(yの差)²)。√(3²＋4²)＝√25＝5。
Q95基礎直角をはさむ2辺が5cmと12cmの直角三角形の斜辺を求めなさい。
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答え：13 cm
√(5²＋12²)＝√(25＋144)。＝√169＝13(cm)。
Q96標準1辺4cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。
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答え：4√2 cm
√(4²＋4²)＝√(16＋16)＝√32。√32＝4√2(cm)。
Q97標準たて8m・横15mの長方形の土地の対角線の長さを求めなさい。
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答え：17 m
√(8²＋15²)＝√(64＋225)。＝√289＝17(m)。
Q98応用縦3cm・横4cm・高さ12cmの直方体の対角線の長さを求めなさい。
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答え：13 cm
空間の対角線＝√(縦²＋横²＋高さ²)。√(3²＋4²＋12²)＝√(9＋16＋144)＝√169＝13(cm)。
円周角 (6問)
Q99基礎同じ弧に対する円周角は、中心角の何倍ですか。
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答え：1/2倍（半分）
円周角＝中心角の1/2。逆に中心角は円周角の2倍。
Q100基礎図で、弧に対する中心角が80°のとき、同じ弧に対する円周角(?)を求めなさい。
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答え：40°
円周角＝中心角×1/2。80×1/2＝40°。
Q101標準半円の弧に対する円周角（直径を見込む角）は何度ですか。
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答え：90°
直径に対する円周角はつねに90°。中心角180°の半分だから。
Q102基礎同じ弧に対する円周角の大きさは、点の位置を変えるとどうなりますか。
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答え：すべて等しい
同じ弧に対する円周角はいつも等しい。
Q103標準ある弧に対する円周角が35°のとき、同じ弧に対する中心角を求めなさい。
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答え：70°
中心角＝円周角×2。35×2＝70°。
Q104応用円に内接する四角形の、向かい合う角の和は何度ですか。
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答え：180°
円に内接する四角形は対角の和が180°。
標本調査 (4問)
Q105基礎全数調査と標本調査のちがいを説明しなさい。
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答え：全数は全部を調べる、標本は一部を調べて全体を推測する
電球の寿命検査などは全部調べると商品がなくなる→標本調査。国勢調査などは全数調査。
Q106基礎標本調査で、調べたい集団全体を何といいますか。
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答え：母集団
全体が母集団、取り出した一部が標本。
Q107標準袋の玉500個から50個取り出したら赤が20個でした。袋全体の赤玉はおよそ何個と推定できますか。
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答え：およそ200個
標本の赤の割合＝20/50＝0.4（40%）。500×0.4＝200個と推定。
Q108標準標本調査で、かたよりが出ないように選ぶ抽出方法を何といいますか。
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答え：無作為抽出
くじ引きや乱数で公平に選ぶのが無作為抽出。特定のものに偏らないことが大切。
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