解けない問題は、プロ家庭教師に無料で質問できます。
このページに入っている単元（10単元・全96問）
単元をタップすると問題が開きます。答えと解説も同じ場所で開けます。
発展 展開・因数分解／平方根 ／ 2次方程式 応用 ／ 関数 y=ax² 応用 ／ 三平方の定理 応用・発展 ／ 2学期総合① 数式・整数・方程式 ／ 2学期総合② 平面図形 ／ 2学期総合③ 関数・立体・確率 ／ 相似と円周角の応用 ／ 入試レベル総合 ／ 標本調査と資料の活用
中3 数学の応用・入試レベル問題（10単元・96問）
📐 数学
発展 展開・因数分解／平方根 (6問)
Q109応用(x＋2)(x−2)(x²＋4) を展開しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x⁴−16
まず(x＋2)(x−2)＝x²−4。(x²−4)(x²＋4)＝x⁴−16（平方の差）。
Q110応用(x＋y＋1)(x＋y−1) を展開しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x²＋2xy＋y²−1
x＋y をAとおく：(A＋1)(A−1)＝A²−1。A²＝(x＋y)²＝x²＋2xy＋y²。よってx²＋2xy＋y²−1。
Q111応用(x＋1)²−9 を因数分解しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：(x＋4)(x−2)
x＋1＝Aとおくと A²−9＝(A＋3)(A−3)。A を戻して(x＋4)(x−2)。
Q112標準2x²−8 を因数分解しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：2(x＋2)(x−2)
共通因数2でくくる：2(x²−4)。x²−4＝(x＋2)(x−2)。
Q113標準√48＋√27−√12 を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：5√3
√48＝4√3、√27＝3√3、√12＝2√3。4√3＋3√3−2√3＝5√3。
Q114応用(√3＋√2)² を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：5＋2√6
(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²を使う。3＋2√6＋2＝5＋2√6。
2次方程式 応用 (9問)
Q115基礎x²−6x＋9＝0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝3
(x−3)²＝0。重解 x＝3。
Q116応用2x²−5x＋2＝0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝2, 1/2
たすきがけで(2x−1)(x−2)＝0。2x−1＝0→x＝1/2、x−2＝0→x＝2。
Q117応用x²−4x−1＝0 を解の公式で解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝2±√5
x＝(4±√(16＋4))/2＝(4±√20)/2。√20＝2√5なのでx＝2±√5。
Q118標準(x＋1)(x−3)＝5 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝4, −2
展開して x²−2x−3＝5 → x²−2x−8＝0。(x−4)(x＋2)＝0 → x＝4, −2。
Q119標準x²＝3x を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝0, 3
移項して x²−3x＝0。x(x−3)＝0 → x＝0, 3（両辺をxで割らない）。
Q120標準連続する2つの偶数の積が48です。小さい方をxとして方程式をつくりなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x(x＋2)＝48
連続する偶数はx と x＋2。積が48なので x(x＋2)＝48。
Q121標準連続する2つの偶数の積が48です。その2数を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：6と8
x²＋2x−48＝0 →(x＋8)(x−6)＝0。x＝6（正の偶数）なので6と8。
Q122応用ある正の数を2乗すると、もとの数の5倍から6を引いた数に等しくなります。ある数を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：2 と 3
x²＝5x−6 → x²−5x＋6＝0。(x−2)(x−3)＝0 → x＝2, 3。
Q123応用たてと横の和が10cm、面積が24cm²の長方形があります。短い方の辺の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：4 cm
たてをx、横を10−xとすると x(10−x)＝24。x²−10x＋24＝0→(x−4)(x−6)＝0→短い方は4(cm)。
関数 y=ax² 応用 (9問)
Q124基礎y＝(1/2)x² で、x＝4 のときの y を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：8
(1/2)×4²＝(1/2)×16。＝8。
Q125標準y＝ax² のグラフが点(−2, 12)を通るとき、a を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3
12＝a×(−2)²＝4a。a＝3。
Q126応用y＝2x² で、x が1から3まで変わるときの変化の割合を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：8
変化の割合＝(18−2)/(3−1)。＝16/2＝8。
Q127応用y＝x² で、x の変域が −1≦x≦2 のときの y の変域を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：0 ≦ y ≦ 4
放物線の最小は x＝0 で y＝0。最大は x＝2 で y＝4 → 0≦y≦4。
Q128応用y＝ax² で、x が2倍になると y は何倍になりますか。
▶ 答えと解説を見る
答え：4倍
a(2x)²＝4ax²。もとの4倍 → 4倍。
Q129応用放物線 y＝x² と直線 y＝x＋2 の交点の x 座標を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝−1, 2
x²＝x＋2 → x²−x−2＝0。(x−2)(x＋1)＝0 → x＝−1, 2。
Q130標準物が落ちる距離が y＝5x²（x秒でy m）で表されるとき、2秒間で落ちる距離を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：20 m
x＝2を代入：5×2²。5×4＝20(m)。
Q131標準y＝−2x² のグラフは上・下どちらに開き、最大値・最小値のどちらをもちますか。
▶ 答えと解説を見る
答え：下に開き、最大値0をもつ
a＜0なので下に開く。頂点(0,0)が最大値。
Q132標準y＝3x² で y＝27 のときの x を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝±3
27＝3x² → x²＝9。x＝±3。
三平方の定理 応用・発展 (9問)
Q133基礎図の直角三角形で、斜辺13・1辺12のとき、残りの辺(?)を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：5
√(13²−12²)＝√(169−144)。＝√25＝5。
Q134標準たて5cm・横12cmの長方形の対角線の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：13 cm
√(5²＋12²)＝√(25＋144)。＝√169＝13(cm)。
Q135応用図の1辺8cmの正三角形の面積を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：16√3 cm²
高さ＝√(8²−4²)＝√48＝4√3。面積＝(1/2)×8×4√3＝16√3(cm²)。
Q136標準座標平面上の2点 A(1, 2)、B(4, 6) の距離を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：5
√((4−1)²＋(6−2)²)＝√(9＋16)。＝√25＝5。
Q137応用たて3cm・横4cm・高さ12cmの直方体の対角線を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：13 cm
√(3²＋4²＋12²)＝√(9＋16＋144)。＝√169＝13(cm)。
Q138応用半径5cmの円で、中心から4cmの距離にある弦の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：6 cm
中心から弦に垂線をひくと直角三角形。弦の半分＝√(5²−4²)＝3、弦＝6(cm)。
Q139応用直角二等辺三角形（45°,45°,90°）で斜辺が6cmのとき、他の1辺の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3√2 cm
3辺の比は1:1:√2。6÷√2＝6√2/2＝3√2(cm)。
Q140標準30°,60°,90°の直角三角形で、最も短い辺が2cmのとき、斜辺の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：4 cm
3辺の比は1:2:√3。短辺2の2倍＝4(cm)が斜辺。
Q141標準底面の半径3cm・高さ4cmの円錐の母線（頂点から底面のふちまでの長さ）を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：5 cm
母線は半径と高さを2辺とする直角三角形の斜辺。√(3²＋4²)＝√25＝5(cm)。
2学期総合① 数式・整数・方程式 (9問)
Q142標準(−2a²b)³ を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：−8a⁶b³
(−2)³＝−8、(a²)³＝a⁶、b³。＝−8a⁶b³。
Q143応用6a²b ÷ 3a × 2b を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：4ab²
6a²b×2b＝12a²b²、÷3a。＝4ab²。
Q144応用(x＋3)(x−5)−(x−1)² を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：−16
(x²−2x−15)−(x²−2x＋1)。＝−15−1＝−16。
Q145標準連続する3つの整数の和は3の倍数になります。真ん中をnとして和を式で表しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3n
(n−1)＋n＋(n＋1)。＝3n（3の倍数）。
Q146基礎十の位が a、一の位が b の2けたの自然数を式で表しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：10a＋b
十の位は10倍する。＝10a＋b。
Q147標準n を整数とするとき、偶数と奇数をそれぞれ式で表しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：偶数 2n、奇数 2n＋1
偶数は2でわり切れる＝2n。奇数は偶数＋1＝2n＋1。
Q148標準0.2x＋0.5＝1.1 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝3
両辺を10倍：2x＋5＝11。2x＝6 → x＝3。
Q149標準x/2 ＋ x/3 ＝ 5 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝6
両辺を6倍：3x＋2x＝30。5x＝30 → x＝6。
Q150標準比例式 3:5 ＝ x:20 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝12
外側の積＝内側の積：3×20＝5×x。60＝5x → x＝12。
2学期総合② 平面図形 (9問)
Q151基礎平行四辺形の、向かい合う辺と向かい合う角の性質を答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：それぞれ等しい
対辺・対角はそれぞれ等しい。対角線は互いの中点で交わる。
Q152標準正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：135°
内角の和＝(8−2)×180＝1080°。1080÷8＝135°。
Q153標準図のおうぎ形（半径6cm・中心角120°）の弧の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：4π cm
弧＝2πr×中心角/360＝2π×6×120/360。＝12π×(1/3)＝4π(cm)。
Q154標準同じおうぎ形（半径6cm・中心角120°）の面積を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：12π cm²
面積＝πr²×中心角/360＝π×36×120/360。＝36π×(1/3)＝12π(cm²)。
Q155基礎図で、弧に対する中心角が100°のとき、同じ弧に対する円周角(?)を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：50°
円周角＝中心角×1/2。100×1/2＝50°。
Q156標準三角形の合同条件「2組の辺と…」の続きを答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：その間の角がそれぞれ等しい
2辺とその間の角が等しいと合同。
Q157応用底辺が共通で、高さが等しい2つの三角形の面積の関係を答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：等しい
面積＝(1/2)×底辺×高さ。底辺・高さが同じなら面積は等しい（等積変形）。
Q158基礎正三角形の1つの内角の大きさを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：60°
内角の和180°を3等分。180÷3＝60°。
Q159標準円の直径に対する円周角の大きさを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：90°
半円の弧に対する円周角はつねに90°。
2学期総合③ 関数・立体・確率 (15問)
Q160基礎反比例 y＝12/x で、x＝3 のときの y を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：4
y＝12÷x。12÷3＝4。
Q161標準一次関数 y＝2x−3 のグラフが x軸と交わる点の座標を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：(3/2, 0)
x軸上は y＝0。0＝2x−3 → x＝3/2、点は(3/2, 0)。
Q162標準2点 (1, 2) と (3, 8) を通る直線の式を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：y＝3x−1
傾き＝(8−2)/(3−1)＝3。2＝3×1＋b → b＝−1。y＝3x−1。
Q163応用y＝ax² が点(3, 18)を通るとき、a を求め、x＝−1 のときの y も求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：a＝2, y＝2
18＝a×9 → a＝2。x＝−1：2×(−1)²＝2。
Q164応用放物線 y＝x² と直線 y＝−x＋6 の交点の x 座標を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x＝−3, 2
x²＝−x＋6 → x²＋x−6＝0。(x＋3)(x−2)＝0 → x＝−3, 2。
Q165標準底面積20cm²・高さ9cmの角錐の体積を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：60 cm³
錐の体積＝(1/3)×底面積×高さ。(1/3)×20×9＝60(cm³)。
Q166応用半径6cmの球の体積を求めなさい。（円周率はπ）
▶ 答えと解説を見る
答え：288π cm³
球の体積＝(4/3)πr³。(4/3)×π×216＝288π(cm³)。
Q167応用図の円柱（底面半径2cm・高さ5cm）の表面積を求めなさい。（円周率はπ）
▶ 答えと解説を見る
答え：28π cm²
側面＝2πr×h＝2π×2×5＝20π。底面2つ＝2×πr²＝2×4π＝8π。合計28π(cm²)。
Q168標準1辺3cmの立方体の対角線の長さを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3√3 cm
√(3²＋3²＋3²)＝√27。＝3√3(cm)。
Q169標準底面の半径3cm・高さ4cmの円錐の体積を求めなさい。（円周率はπ）
▶ 答えと解説を見る
答え：12π cm³
(1/3)×π×3²×4＝(1/3)×36π。＝12π(cm³)。
Q170標準2個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が7になる確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：1/6
全部で6×6＝36通り。和が7は(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)の6通り→6/36＝1/6。
Q171標準2個のサイコロを投げて、同じ目（ぞろ目）が出る確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：1/6
ぞろ目は(1,1)〜(6,6)の6通り。6/36＝1/6。
Q172基礎赤玉3個・白玉2個の袋から1個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3/5
全部で5個、赤は3個。3/5＝3/5。
Q173標準コインを3枚投げて、3枚とも表が出る確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：1/8
全部で2×2×2＝8通り。3枚とも表は1通り→1/8。
Q174基礎よくきったトランプ52枚から1枚引くとき、ハートが出る確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：1/4
ハートは13枚。13/52＝1/4。
相似と円周角の応用 (10問)
Q1基礎相似な図形の対応する辺の比を何というか。
▶ 答えと解説を見る
答え：相似比
対応する角はすべて等しくなります。面積比は相似比の2乗になります。
Q2基礎三角形の相似条件を3つ答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角が等しい／2組の角がそれぞれ等しい
証明では2組の角を使うことが多いです。合同条件と混同しないよう注意します。
Q3標準相似比が3：5の2つの図形の面積比を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：9：25
面積比は相似比の2乗。3²：5²＝9：25。
Q4応用相似比が2：3の2つの立体の体積比を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：8：27
体積比は相似比の3乗。2³：3³＝8：27。
Q5応用三角形ABCで、AB上の点Dと AC上の点Eを結ぶDEがBCと平行のとき、AD：DB=2：3ならDE：BCを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：2：5
三角形ADEと三角形ABCは相似です。AD：AB＝2：5 なので DE：BC＝2：5。
Q6標準三角形の2辺の中点を結ぶ線分について成り立つ定理を答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：中点連結定理（残りの辺と平行で、長さはその半分）
三角形の相似から導かれます。四角形の問題でもよく使います。
Q7基礎円周角の定理を説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分になる
弧の長さが等しければ円周角も等しくなります。半円の弧に対する円周角は90°です。
Q8基礎半円の弧に対する円周角は何度か。
▶ 答えと解説を見る
答え：90°
中心角が180°なのでその半分です。直径を利用する問題でよく使われます。
Q9標準ある弧に対する中心角が80°のとき、円周角は何度か。
▶ 答えと解説を見る
答え：40°
円周角は中心角の半分です。80÷2＝40。
Q10応用4点が同じ円周上にあることを示すには何を確かめればよいか。
▶ 答えと解説を見る
答え：1つの線分に対する円周角が等しいこと（または向かい合う角の和が180°）
円周角の定理の逆です。相似の証明と組み合わせて出題されます。
入試レベル総合 (10問)
Q1基礎√12 を簡単にしなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：2√3
12＝4×3 と分けます。√4＝2 を外に出します。
Q2標準(√5+√2)(√5-√2) を計算しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3
和と差の積は2乗の差。5-2＝3。
Q3基礎x²-5x+6=0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x=2, 3
たして-5、かけて6になる2数は-2と-3。(x-2)(x-3)=0。
Q4応用2次方程式 x²-4x-1=0 を解きなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：x=2±√5
解の公式を使います。x=(4±√(16+4))/2＝(4±2√5)/2＝2±√5。
Q5応用y=2x² で x が1から3まで増えるときの変化の割合を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：8
yの増加量は 2(9)-2(1)＝16。16÷(3-1)＝8。
Q6標準3辺が5、12、xの直角三角形で、xが斜辺のときのxを求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：13
三平方の定理 5²+12²＝x²。25+144＝169、x＝13。
Q7応用半径3cmの球の体積を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：36π cm³
球の体積は (4/3)πr³。(4/3)π×27＝36π。
Q8標準底面の半径2cm、高さ6cmの円錐の体積を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：8π cm³
円錐は (1/3)×底面積×高さ。(1/3)×4π×6＝8π。
Q9基礎袋に赤玉3個、白玉2個が入っている。1個取り出して赤である確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：3/5
全部で5個のうち赤は3個。3÷5＝3/5。
Q10応用2個のさいころを同時に投げて、目の和が7になる確率を求めなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：1/6
全部で36通り、和が7は6通り。6/36＝1/6。
標本調査と資料の活用 (10問)
Q1基礎全数調査と標本調査の違いを説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：全数調査は対象すべてを調べる、標本調査は一部を取り出して調べ全体を推定する
国勢調査は全数調査です。視聴率調査や製品検査は標本調査です。
Q2標準電球の耐久検査に標本調査を使う理由を答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：全数調査をすると商品がすべて壊れてしまうから
調べると製品が使えなくなる検査に使います。時間や費用の節約にもなります。
Q3標準母集団と標本の関係を説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：母集団は調べたい集団全体、標本はそこから取り出した一部
標本から母集団の性質を推定します。標本はかたよりなく選ぶ必要があります。
Q4応用袋の中の白玉と黒玉から50個取り出したら白が20個だった。袋に600個入っているとき、白玉はおよそ何個か。
▶ 答えと解説を見る
答え：およそ240個
標本での白の割合は 20/50＝0.4。600×0.4＝240。
Q5応用池の魚に印をつけて放し、後日100匹つかまえたら印つきが5匹だった。最初に印をつけたのが50匹なら池の魚はおよそ何匹か。
▶ 答えと解説を見る
答え：およそ1000匹
標本での印つきの割合は 5/100＝0.05。50÷0.05＝1000。
Q6基礎資料の中央値（メジアン）とは何か説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：データを小さい順に並べたときの真ん中の値
データが偶数個なら中央2つの平均です。極端な値の影響を受けにくいのが特徴です。
Q7基礎最頻値（モード）とは何か説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：データの中で最も多く現れる値
度数分布表では度数が最大の階級の階級値です。平均値とは異なることがあります。
Q8標準3, 5, 5, 8, 14 の中央値と最頻値を答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：中央値5、最頻値5
5個のデータの真ん中は3番目の5。5が2回出るので最頻値も5です。
Q9応用四分位範囲とは何か説明しなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：第3四分位数から第1四分位数を引いた値
データの中央付近50%の散らばりを表します。箱ひげ図の箱の長さにあたります。
Q10標準箱ひげ図からわかることを2つ答えなさい。
▶ 答えと解説を見る
答え：データの散らばり具合／中央値や四分位数の位置
最大値・最小値も読み取れます。複数の集団を比べるのに便利です。
同じ学年の、ほかの教科の問題
中3のほかの教科も、同じように単元ごとの問題と解説をそろえています。すべて無料です。
「この解説、わかりやすい」と思ったら
エスペランサアカデミーなら、こんな“わかる解説”でつまずきを全部つぶします。
今だけ無料体験、まずは気軽に試してみませんか？
無料体験・相談はこちら中学・高校受験専門のオンライン家庭教師エスペランサアカデミー
